Mira el patrón: \(2^3=8,\ 2^2=4,\ 2^1=2\). Cada vez que el exponente baja 1, el resultado se divide entre 2. El siguiente paso es \(2^0=2/2=1\), y luego \(2^{-1}=1/2\). También sale de la ley del cociente: \(\dfrac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0\), y cualquier número entre sí mismo da 1.

No hay un valor que funcione en todos los casos. Como \(0^x=0\) para \(x>0\), parecería que debe ser 0; como \(x^0=1\) para \(x\ne0\), parecería que debe ser 1. En cálculo, “\(0^0\)” es una forma indeterminada que se estudia con límites (Teoremas e indeterminaciones). En álgebra y combinatoria se acuerda por convención que \(0^0=1\).

Se aproxima con exponentes que sí son fracciones: \(2^{3}=8\), \(2^{3.1}\approx8.574\), \(2^{3.14}\approx8.815\), \(2^{3.1416}\approx8.825\). Mientras más decimales de π usas, los resultados se acercan a un único número: \(2^\pi\approx8.825\). Esa idea de “acercarse” es justamente un límite (¿Qué es un límite?).

En la curva \(y=e^x\), la pendiente (qué tan inclinada está) en cada punto es igual a la altura de la curva en ese punto. Por eso su derivada es ella misma (Derivadas de exponenciales y logaritmos) y muchas fórmulas se simplifican con esta base. Es un número irracional: \(e=2.718281828459\ldots\), sus decimales nunca se repiten.

Históricamente, convertían multiplicaciones difíciles en sumas (\(\log(MN)=\log M+\log N\)); así calculaban los ingenieros con tablas y reglas de cálculo antes de las calculadoras. Hoy los usamos para despejar exponentes y para medir cantidades que abarcan muchos órdenes de magnitud: sismos, sonido, acidez, señales en electrónica o el brillo de las estrellas.

Porque ninguna potencia \(b^y\) da exactamente 0. Si haces y muy negativo, \(b^y\) se acerca a 0 (\(2^{-10}\approx0.001\)), pero nunca llega. Por eso la gráfica de \(\log_b x\) baja sin límite al acercarse a \(x=0\): ahí tiene una asíntota vertical.

Porque usa la base \(e\), que aparece sola en fenómenos de cambio continuo (crecimiento, enfriamiento, desintegración). Además, en cálculo es la más sencilla: la derivada de \(\ln x\) (su ritmo de cambio) es \(\frac1x\), mientras que con otra base aparece un factor extra: \(\frac{1}{x\ln b}\). Lo verás en Derivadas de exponenciales y logaritmos.

Con cambio de base: \(\log_7 50=\dfrac{\ln50}{\ln7}\approx\dfrac{3.912}{1.946}\approx2.010\). Funciona porque si \(y=\log_7 50\), entonces \(7^y=50\); aplicando ln: \(y\ln7=\ln50\).

Sí. \(\dfrac{\ln20}{\ln3}\) y \(\dfrac{\log20}{\log3}\) dan exactamente lo mismo (≈ 2.727), porque el cociente cancela la base. Se suele usar ln porque es la base natural del cálculo.

Sí. En \(2^x=x+3\) la x aparece dentro y fuera del exponente, y no existe un despeje con funciones conocidas. Aun así tiene dos soluciones: \(x\approx-2.863\) y \(x\approx2.445\). Se encuentran graficando o con métodos numéricos, como el método de Newton, que verás más adelante en el curso.

El simple suma la misma cantidad cada año (es lineal); el compuesto multiplica, porque también genera intereses sobre los intereses. Con $10,000 al 10 % anual durante 20 años: simple da $30,000; compuesto da \(10000(1.1)^{20}\approx\$67{,}275\).

Solo \(x=0\). Divide entre \(3^x\): \(\left(\frac23\right)^x=1\), y la única potencia que da 1 es la de exponente 0. En la gráfica, \(2^x\) y \(3^x\) solo se cruzan en \((0,1)\).

Las concentraciones de iones H⁺ son números muy pequeños, como \(10^{-3}\) mol/L, cuyo logaritmo es negativo (−3). El signo menos lo vuelve positivo, y así el pH de las disoluciones comunes queda en una escala cómoda de 0 a 14.

Sí. En \(\ln x=\ln(x-1)\) tendrías \(x=x-1\), que es imposible. En otras, todos los candidatos se descartan: \(\log(x+1)=\log(2x+5)\) da \(x=-4\), pero entonces \(x+1=-3\) y el logaritmo no existe. Resultado: sin solución.

Los sismólogos hoy reportan la magnitud de momento (Mw), que corrige limitaciones de la escala de Richter original con sismos muy grandes. Pero la idea es la misma: es una escala logarítmica, donde subir un punto multiplica la energía por unas 32 veces.

Es una herencia de los astrónomos babilonios, que contaban en base 60. Una explicación común es que 360 es cercano a los días del año y tiene muchísimos divisores (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12…), lo que facilita repartir la vuelta en partes iguales. Es una convención, no una ley de la naturaleza.

Porque con radianes las fórmulas quedan limpias. Por ejemplo, para ángulos pequeños \(\sin x\approx x\) y la derivada (el ritmo de cambio) de \(\sin x\) es \(\cos x\), como verás en Derivadas trigonométricas. Si usaras grados, aparecería el factor \(\frac{\pi}{180}\) en todas partes. Un radián mide aproximadamente 57.3°.

Es el teorema de Pitágoras en el círculo unitario. El punto \((\cos\theta,\sin\theta)\) forma un triángulo rectángulo con catetos \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\) e hipotenusa 1 (el radio). Entonces \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1^2\).

“Seno” viene del latín sinus, resultado de una traducción al latín de un término árabe que a su vez venía del sánscrito (donde se refería a la cuerda de un arco). “Coseno” significa “seno del complemento”: \(\cos\theta=\sin(90^\circ-\theta)\).

Traza la altura h desde el vértice C hasta el lado c. En los dos triángulos rectángulos que se forman: \(h=b\sin A\) y \(h=a\sin B\). Igualando, \(b\sin A=a\sin B\), es decir, \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\). Dato extra: ese cociente común es igual al diámetro del círculo que pasa por los tres vértices.

Con LAL, ALA o LLL el triángulo queda completamente determinado: son criterios de congruencia de la geometría. LLA no lo es: el lado a puede “abrirse” como un compás y tocar la base en dos lugares distintos, dando dos triángulos diferentes con los mismos datos.

En topografía (medir terrenos por triangulación), en el análisis de armaduras y estructuras que verás en Estática, en brazos robóticos (calcular ángulos de articulaciones) y en navegación y localización, donde se combinan distancias y ángulos para ubicar un punto.

Porque \(\arcsin\) tiene que ser una función: para cada entrada, una sola salida. Para lograrlo se restringe el seno al intervalo \([-90^\circ,90^\circ]\), donde es uno a uno. Las demás soluciones las encuentras tú con los cuadrantes y el periodo (lo verás a fondo en Función inversa).

En la corriente alterna (en México, 60 ciclos por segundo), en las vibraciones de máquinas y motores, en las mareas, en el sonido y en ciclos de demanda que se repiten cada día o cada semana. Todos se modelan con senos y cosenos.

Una identidad se cumple para todos los valores de x, como \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Una ecuación solo se cumple para algunos, como \(\sin x=\tfrac12\). Las identidades sirven de herramienta para transformar y resolver ecuaciones.

No. \(y=\pm\sqrt{x}\) da dos salidas para cada \(x>0\), y \(x^2+y^2=1\) tampoco es función de x. Y al revés: hay funciones sin fórmula, como la temperatura registrada cada hora en una planta. Lo único que importa es que cada entrada tenga exactamente una salida.

Sí: \(f(x)=5\) es una función constante. Cada entrada tiene una sola salida (siempre 5), así que cumple la regla. Lo prohibido es lo contrario: que una misma entrada tenga dos salidas.

Se atribuye al matemático suizo Leonhard Euler, en el siglo XVIII. Antes, las relaciones entre cantidades se describían con palabras o con curvas. La notación ayudó a pensar en las funciones como objetos que se pueden sumar, componer o derivar.

Si \(\frac60=k\), entonces \(0\cdot k=6\), pero cualquier número por cero da 0: no existe tal k. Y \(\frac00\) tiene el problema contrario: cualquier k cumple \(0\cdot k=0\), así que no hay un único valor. Lo que sí podemos estudiar es qué pasa cerca de ese punto: eso son los límites (Unidad 3).

Existen en los números complejos: \(\sqrt{-4}=2i\) (lo viste en Álgebra Superior). En este curso trabajamos con funciones que van de números reales a números reales, porque así se pueden graficar en el plano. Por eso excluimos esos valores del dominio.

Despeja x en términos de y y revisa qué valores de y lo permiten. Ejemplo: \(y=\frac1{x-3}\Rightarrow x=3+\frac1y\), que solo falla si \(y=0\). Rango: todos los reales excepto 0. Esta idea reaparece en La función inversa: el rango de f será el dominio de su inversa.

No: son aproximaciones útiles. La caja ignora el grosor de la lámina y la lata ignora que la tapa es más gruesa. El estadístico George Box lo resumió así: “todos los modelos son incorrectos, pero algunos son útiles”. Un buen ingeniero sabe qué simplificaciones puede hacer sin perder lo importante.

Normalmente la que puedes controlar o decidir (el corte, el radio, la cantidad producida). Si hay varias opciones, elige la que haga la fórmula más sencilla. Lo importante es escribir con claridad qué significa y en qué unidades está.

La gráfica muestra de un vistazo lo que la fórmula esconde: dónde crece, dónde tiene un máximo, qué tan sensible es a cambios. También ayuda a detectar errores: si tu modelo de volumen da valores negativos para cortes razonables, algo está mal planteado.

Piensa en el punto especial de f, por ejemplo el vértice de \(x^2\) en \(x=0\). En \(f(x-3)\), lo que está adentro vale 0 cuando \(x=3\). Ese punto especial ahora ocurre 3 unidades más tarde, es decir, a la derecha.

\(|f(x)|\) toma las partes de la gráfica que están debajo del eje x y las refleja hacia arriba. \(f(|x|)\) borra la mitad izquierda y la reemplaza con un espejo de la mitad derecha, así que el resultado siempre es una función par. Pruébalas en Desmos con \(f(x)=x-2\).

Porque “trascienden” el álgebra: no pueden obtenerse con un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces. Técnicamente, no satisfacen ninguna ecuación polinomial en x y y. Funciones como \(e^x\), \(\ln x\) y \(\sin x\) se definen con procesos infinitos, como los límites o las series que verás en la Unidad 6.

Porque todas se obtienen cortando un cono con un plano. El matemático griego Apolonio de Perga las estudió a fondo hace más de 2000 años y les dio los nombres de elipse, parábola e hipérbola.

Por una propiedad del foco: toda señal que llega paralela al eje de la parábola rebota exactamente hacia el foco. Ahí se coloca el receptor y se concentra toda la señal. Los faros de los autos usan el camino inverso: un foco de luz en el foco sale como un haz paralelo.

Es un número que mide qué tan “aplastada” está una cónica: \(e=\frac ca\). Vale \(e=0\) en la circunferencia, \(0<e<1\) en la elipse, \(e=1\) en la parábola y \(e>1\) en la hipérbola. La órbita de la Tierra es una elipse con \(e\approx0.017\): casi un círculo.

Porque si te quedas exactamente 60 minutos pagas 1 hora; con un segundo más ya pagas 2. El valor en \(t=1\) pertenece al escalón de la izquierda, así que ahí va el punto relleno. En la función piso \(\lfloor x\rfloor\) es al revés: el punto relleno está a la izquierda.

No necesariamente. \(x^2+y^2=-1\) no tiene ningún punto real (una suma de cuadrados no puede ser negativa) y \(x^2+y^2=0\) es solo el punto \((0,0)\). Pruébalas en el graficador de curvas implícitas.

En tarifas de paquetería y estacionamiento, en el envío de correo por rangos de peso y en electrónica digital: una señal continua se convierte en valores discretos (escalones) para que la computadora pueda guardarla. También cuando una computadora redondea números.

Una recta vertical fija un valor de x, y la definición de función pide una sola y por cada x. La recta horizontal también sirve, pero para otra cosa: revisa si la función es uno a uno, es decir, si tiene inversa (lo verás en La función inversa).

Solo \(f(x)=0\). Si fuera las dos cosas, \(f(x)=f(-x)\) y \(f(-x)=-f(x)\), así que \(f(x)=-f(x)\), lo que obliga a que \(f(x)=0\) para toda x.

Ahorra trabajo: basta con analizar la mitad de la gráfica. En Cálculo Integral, la integral de una función impar en un intervalo simétrico vale 0 sin hacer cuentas. Dato curioso: casi cualquier función se puede escribir como una parte par más una parte impar; por ejemplo, \(e^x=\cosh x+\sinh x\).

Por analogía con la multiplicación: \(a\cdot a^{-1}=1\) (el neutro), y \(f\circ f^{-1}=x\) (la función identidad, que “no hace nada”). La notación es ambigua, pero ya es universal. Por eso \(\sin^{-1}x\) significa arcoseno y no \(\frac{1}{\sin x}\).

Sí. \(f(x)=\frac1x\), \(f(x)=-x\) y \(f(x)=5-x\) cumplen \(f(f(x))=x\). Sus gráficas son simétricas respecto a la recta \(y=x\), así que al reflejarlas quedan iguales.

Al reflejar sobre \(y=x\), subir y avanzar se intercambian. Si f tiene pendiente 3 en un punto, \(f^{-1}\) tiene pendiente \(\frac13\) en el punto reflejado. Esta idea da la regla para derivar funciones inversas, como \(\ln x\) y \(\arcsin x\) (lo verás en Trigonométricas inversas).

Sí. La asíntota horizontal describe lo que pasa muy lejos, no cerca. Por ejemplo, \(y=\frac{\sin x}{x}\) tiene asíntota \(y=0\) y la cruza infinitas veces mientras sus oscilaciones se hacen cada vez más pequeñas. También una racional puede cruzarla, como en el ejemplo “Trampa” de arriba:

Como máximo dos: una cuando \(x\to-\infty\) y otra cuando \(x\to+\infty\). Por ejemplo, \(y=\arctan x\) se acerca a \(y=-\frac\pi2\) a la izquierda y a \(y=\frac\pi2\) a la derecha. Asíntotas verticales, en cambio, puede tener infinitas, como \(\tan x\).

Con derivadas. En un máximo o mínimo suave, la recta tangente es horizontal (pendiente 0). La concavidad la da la segunda derivada. Esto es exactamente lo que harás en la Unidad 7.

Porque la función original divide entre \(x-2\), y en \(x=2\) eso es dividir entre cero. Al simplificar obtienes otra función con un dominio más grande. Las gráficas son idénticas excepto por un hueco en \((2,4)\).

Sí: \((f-g)(x)\) es la distancia vertical entre las dos curvas en cada x (positiva si f está arriba). En el interactivo de utilidad, la ganancia es la separación vertical entre la recta de ingreso y la de costo.

Es cuánto cuesta producir una pieza más. Si \(C(x)\) es el costo total, el costo marginal es aproximadamente \(C(x+1)-C(x)\), y con precisión es la derivada \(C'(x)\) (Unidades 5 y 6). En el modelo lineal de este tema es constante: el costo variable por pieza.

Sí, pero son casos especiales. Por ejemplo, \(x^3\) y \(\sqrt[3]{x}\): una deshace a la otra en cualquier orden. Esa es la idea del siguiente tema, La función inversa. O potencias como \(x^2\) y \(x^3\): \((x^3)^2=(x^2)^3=x^6\). En general el orden sí importa.

Sí: \(f(f(x))\). Si \(f(x)=1.1x\) representa un año de intereses al 10 %, entonces \(f(f(x))=1.21x\) son dos años. Repetir una función muchas veces (iterarla) genera comportamientos sorprendentes, como los fractales.

Para derivar: la regla de la cadena consiste en derivar la función de afuera y multiplicarla por la derivada de la de adentro. También sirve para entender procesos por etapas, como convertir pesos a dólares y luego dólares a euros.

Porque las ideas más importantes del cálculo aparecen justo donde sustituir no funciona. La velocidad en un instante es “distancia entre tiempo” cuando el tiempo transcurrido es 0: eso da \(\frac00\). La derivada (Unidad 5) es exactamente un límite de ese tipo.

Sí, de tres formas típicas: cuando hay un salto (cada lado se acerca a un valor distinto; lo ves en el siguiente tema, Límites laterales), cuando la función crece sin fin (como \(\frac1{x^2}\) en 0) o cuando oscila sin decidirse, como \(\sin\frac1x\) cerca de 0, que toma todos los valores entre −1 y 1 una y otra vez.

Newton y Leibniz crearon el cálculo en el siglo XVII usando cantidades “infinitamente pequeñas”, una idea útil pero difícil de justificar. La definición precisa de límite llegó hasta el siglo XIX, con Cauchy y después Weierstrass, quien le dio la forma ε-δ que se usa hoy.

Porque guarda solo unos 16 dígitos. Con \(\frac{1-\cos x}{x^2}\) y \(x=10^{-8}\), el valor exacto de \(\cos x\) es \(0.99999999999999995\ldots\), pero la computadora lo redondea a exactamente 1. El numerador da 0 y el “límite” sale 0, cuando en realidad es \(\frac12\). Actívalo en el interactivo con “h diminutos”. Por eso la tabla sirve para conjeturar, pero el límite se demuestra con álgebra o con la definición formal (tema opcional Para profundizar: definición ε-δ).

En tarifas por rangos (estacionamiento, paquetería), en interruptores (un circuito pasa de apagado a encendido), en precios de mayoreo que cambian al llegar a cierta cantidad, o en una señal digital que solo vale 0 o 1. En todos ellos los límites laterales son distintos.

No. Los límites laterales, igual que el límite normal, solo miran lo que pasa cerca de \(a\), nunca en \(a\). El valor \(f(a)\) se vuelve importante en la Unidad 4, cuando preguntemos si la función es continua.

Cuando la función solo existe de un lado. Por ejemplo, \(\sqrt x\) no existe para \(x<0\), así que en \(x=0\) solo tiene sentido el límite por la derecha. En los extremos de un dominio se trabaja con el límite lateral.

Porque la regla \(\frac aa=1\) solo vale si \(a\ne0\). Dividir entre cero no está definido. En un límite, “\(\frac00\)” significa “arriba y abajo se hacen pequeños al mismo tiempo”, y el resultado depende de cuál se hace pequeño más rápido. Por eso puede dar 1, 0, 7 o infinito.

Si la base es exactamente 1, sí. Pero en un límite la base solo se acerca a 1 mientras el exponente crece. Por ejemplo, \(1.0001^{10000}\approx2.718\), que es el número e. De hecho \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e\): es la forma \(1^\infty\) que viste en la Unidad 1.

No. En \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\) no hay nada que factorizar ni racionalizar. Para esos casos está la regla de L’Hôpital, que usa derivadas (Unidad 6). El límite vale 1.

En límites, lo que importa es quién crece más rápido. Toda exponencial \(b^x\) (con b > 1) termina rebasando a cualquier potencia \(x^n\), por grande que sea n; y toda potencia rebasa a \(\ln x\). Por eso \(\frac{x^{100}}{2^x}\to0\). (En matemáticas también existen “tamaños de infinito” para conjuntos, estudiados por Georg Cantor, pero ese es otro tema.)

Te da una pista, pero puede engañarte por redondeo. Por ejemplo, \(\left(1+\frac1x\right)^x\) debería acercarse a \(e\approx2.718\), pero con \(x=10^{16}\) muchas calculadoras redondean \(1+10^{-16}\) a 1 y responden 1. El álgebra no tiene ese problema.

Técnicamente no existe, porque ∞ no es un número. Escribir \(\lim f(x)=\infty\) es una forma corta de decir cómo no existe: la función crece sin cota. Es información útil, porque indica una asíntota vertical.

En el péndulo: la fórmula del periodo \(T\approx2\pi\sqrt{L/g}\) sale de reemplazar \(\sin\theta\) por \(\theta\), y solo es precisa para oscilaciones pequeñas. También en óptica, en el análisis de vigas con deformaciones pequeñas y en navegación.

Si una función queda atrapada entre otras dos, \(g(x)\le f(x)\le h(x)\), y las dos de afuera tienden al mismo límite L, la de en medio no tiene escapatoria: también tiende a L. Con \(\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1\) se demuestra el límite principal de este tema.

Tiende a 0: el seno nunca pasa de 1 en valor absoluto, mientras el denominador crece sin fin. La gráfica oscila cada vez menos alrededor de \(y=0\) y la cruza infinitas veces: un ejemplo de función que cruza su asíntota horizontal.

Porque con funciones complicadas la intuición falla. Durante más de un siglo el cálculo funcionó sin una base sólida, y hubo críticas famosas: en 1734 el filósofo George Berkeley se burló de los infinitesimales llamándolos “fantasmas de cantidades desaparecidas”. La definición ε-δ resolvió el problema sin usar nada “infinitamente pequeño”, solo desigualdades con números normales.

Hay que tener cuidado con qué se niega. Encontrar un solo ε para el cual ningún δ funciona demuestra que el límite no es un valor L concreto. Para demostrar que el límite no existe, hay que hacerlo para todo número L: para cada L posible debe haber un ε sin δ que sirva.

En la práctica se usan atajos equivalentes: mostrar que los límites laterales son distintos, o encontrar dos maneras de acercarse a \(a\) (dos sucesiones de valores de x) en las que \(f(x)\) se acerca a números distintos. En el salto del interactivo, por la izquierda la función se acerca a −1 y por la derecha a 1: ningún L puede estar a menos de 0.5 de los dos a la vez, así que con ε = 0.5 ningún δ sirve para ningún L.

No. Que \(f(a)\) exista es solo la primera condición. Por ejemplo, una función puede valer 5 en \(x=2\) mientras la curva se acerca a 3 desde ambos lados: está definida, el límite existe, pero no coinciden. Hay que revisar las tres condiciones.

Es una buena intuición, pero no es la definición. Falla con funciones raras: \(x\,\sin\frac1x\) (con valor 0 en 0) es continua en 0 aunque oscila infinitas veces cerca de ahí, y nadie podría dibujarla con un lápiz. La definición con límites no depende de dibujar.

Sí. La función de Dirichlet vale 1 si \(x\) es racional y 0 si es irracional. Entre dos números cualesquiera hay racionales e irracionales, así que la función salta sin parar y el límite no existe en ningún punto.

Porque cada tipo dice algo distinto. Una removible es un error de un solo punto que se repara redefiniendo \(f(a)\). Un salto indica un cambio brusco real (una tarifa, un interruptor). Una infinita avisa que algo crece sin control, como dividir entre casi cero.

Sí, las oscilantes (a veces llamadas esenciales). \(\sin\frac1x\) cerca de 0 no salta ni se va al infinito: oscila entre −1 y 1 cada vez más rápido y ningún límite lateral existe.

Casi nunca. Una gráfica por computadora evalúa puntos separados, y es muy improbable caer exactamente en el hueco, así que \(\frac{x^2-4}{x-2}\) se ve como una recta perfecta. Por eso el análisis algebraico es necesario: la pantalla no muestra el hueco.

Una asíntota horizontal u oblicua sí: \(\frac{\sin x}{x}\) cruza \(y=0\) infinitas veces. Lo que importa es el comportamiento lejos, cuando \(x\to\pm\infty\). Una asíntota vertical no se cruza, porque en ese valor de \(x\) la función no está definida.

No. Si el numerador también se hace cero y el factor se cancela, queda un hueco, no una asíntota. En \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) (con \(x\ne1\)) hay un hueco en \(x=1\). Por eso primero se simplifica y luego se buscan las asíntotas.

Como máximo dos: una hacia \(+\infty\) y otra hacia \(-\infty\). Las racionales tienen la misma en ambos lados, pero por ejemplo \(\arctan x\) tiene \(y=\frac\pi2\) a la derecha y \(y=-\frac\pi2\) a la izquierda.